Verschiedene Aufgaben

Aufgabe 1

Lösung für Aufgabe 1

a)

b)

c)

d)

Aufgabe 2

Lösung für Aufgabe 2

a)	vollständige Induktion Induktionsanfang: Induktionsschritt:

b)	vollständige Induktion Induktionsanfang: Induktionsschritt:

c)	vollständige Induktion Induktionsanfang: Induktionsschritt:

Aufgabe 3

a)	Man untersuche die folgenden Vektoren jeweils auf ihre lineare Abhängigkeit und bestimme jeweils eine Basis und die Dimension des von ihnen aufgespannten Unterraums (i) (ii) (iii) (iv)

b)	Für welche Werte sind die folgenden Vektoren linear abhängig? Für diese stelle man vj(j = 1,2,3,4) jeweils als Linearkombination der anderen Vektoren dar.

Lösung für Aufgabe 3

a)

(i) sind linear abhängig, denn die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren im ist 2. Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden die Basis W = span dim W = 2 (ii) sind linear abhängig, denn ist der Nullvektor. Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden die Basis W = span dim W = 2 (iii) Die Vektoren sind linear abhängig. Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden die Basis W = span dim W = 3 (iv) Die Vektoren sind linear unabhängig. Die Vektoren bilden die Basis W = span dim W = 3

b)

linear abhängig für .           oder kürzer:

Aufgabe 4

.

a)	Bestimmen Sie alle Produkte von je 2 dieser Matrizen, die definiert sind.

b)	Bestimmen Sie alle Produkte der Form und soweit sie definiert sind.

Lösung für Aufgabe 4

a)
b)

Aufgabe 5

Bestimmen Sie die Parameter

, so daß die Matrix

		orthogonal und
		orthogonal und symmetrisch ist.

	und die komplexen Matrizen
		und
	unitär und hermitisch sind.

Lösung für Aufgabe 5

(0.5)2+b12=1

0.25+b12=1

a12+(0.5)2=1

0.25+a12=1

B·B^T=I₂

a22+(0.5)2=1

a22+0.25=1

a₂·b₂+0.5·c₂=0
b₂²+c₂²=1

B=B^T

b₂²+c₂²=1
(0.5)²+c₂²=1

C=C^*

a3+b3i=a3-b3i

c3+0.5i=d3-e3i

d₃+e₃i=c₃-0.5i

0.5+f3i=0.5-f3i

c₃=d₃
C·C^*=I₂

	a32+b32+c32-0.25i2=1
	a32+c32=0.75

d₃²+e₃²+0.25+f₃²=1
d₃²+0.5=1


a₃²+0.5=0.75

D=D^*

a4+b4i=a4-b4i

c4+d4i=e4-f4i

d4=-f4

e₄+f₄i=c₄-d₄i
a₄+b₄i=a₄-b₄i
e₄=c₄
D·D^*=I₂

a₄²+b₄²+c₄²+d₄²=1
(e₄+f₄i)·a₄+a₄·(c₄-d₄i)=0
a₄·e₄+a₄·f₄+a₄·c₄-a₄·d₄i=0 a·(e₄+f₄i+c₄-d₄i)=0

Es gibt 2 Lösungen:

oder

Aufgabe 6

a)	Man bestimme die Lösung X der Matrizengleichung A X + X AT = I2, wobei .

b)	Man bestimme sämtliche Lösungen X der Matrizengleichung

c)	Es sei a ein n-dimensionaler Spaltenvektor mit . Daraus werde die (n, n)-Mtrix A = In - 2 a aT (A ist eine sog. Householder-Matrix) gebildet. Man berechne A2. Was folgt hieraus für A-1 und allgemein für AP (p ganz)?

Lösung für Aufgabe 6

a)	A·X+X·AT=I2 2·x11+2·x11=1 4·x11=1 -x11+x21+2·x21=0 -x11+3·x21=0 2·x12+x12-x11=0 3·x12-x11=0 -x12+x22-x21+x22=1 -x12+2·x22-x21=1

b)	x21·x11+x22·x21-x21=8 x21·(x11+x22-1)=8 x11·x12+x21·xx22-x12=0 x12·(x11+x22-1)=0

c)	für gerade P ist AP=In für ungerade P ist AP=A

Aufgabe 7

a)	Bestimmen Sie alle Lösungen für die folgenden Gleichungssysteme (i) (ii)

b)	Diskutieren Sie die Lösungen des Gleichungssystems in Abhängigkeit von den Parametern .

Lösung für Aufgabe 7

a)	(i) Berechnung der allgemeinen Lösung des homogenen Gleichungssystems (ii)

b)	Das Gleichungssystem ist für a=4, b2 nicht lösbar. Für a=4, b=2 hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Eine Lösung ist z.B.: sonst ist die Lösung:

Aufgabe 8

Lösung für Aufgabe 8

a)

b)

c)

Aufgabe 9

a)	Es seien regulär und . Man zeige, daß die Matrix B := A - uvT genau dann regulär ist, wenn gilt, und daß dann       gilt.

b)	Es sei       Man löse das lineare Gleichungssystem

Lösung für Aufgabe 9

a)	B=A(In-A-1uvT) ist invertierbar wenn In-A-1uvT regulär ist. Dies ist der Fall wenn d.h.

b)	Mit A=2In, u=(1 2 3 4 5)T und v=-u hat B die Darstellung B=A-vvT.

Aufgabe 10

Man löse dieses Gleichungssystem für die folgenden Werte mittels Gauß-Elimination:

Lösung für Aufgabe 10

Aufgabe 11

und

.

Lösung für Aufgabe 11

Aufgabe 12

Bestimmen Sie für eine geeignete Permutationsmatrix P die LR-Zerlegung von PA und lösen Sie hiermit das Gleichungssystem

.

Lösung für Aufgabe 12

Aufgabe 13

Lösung für Aufgabe 13

a)	Die Vektoren sind linear abhängig und es folgt

b)

c)

Aufgabe 14

Lösung für Aufgabe 14

Jetzt wird die letzte Spalte erweitert.

Die Spalte kommt wie folgt zustande:

Die Determinante ändert sich nicht!
Jetzt wird aus der letzten Spalte die 17 herausgezogen

Aufgabe 15

a)	Die Darstellung des Vektors x bezüglich der kanonischen Basis lautet: (1,2,-1,3)T. Wie lautet Sie bezüglich der Basis

b)	Die Darstellung des Vektors z bezüglich der kanonischen Basis lautet: (1,2,3)T. Wie lautet sie bezüglich der Basis

Lösung für Aufgabe 15

a)

b)

Aufgabe 16

Zeigen Sie, daß für alle

gilt

Lösung für Aufgabe 16

Mit A:=a·I_n, a:=(1,1,...,1)^T und b:=(b,b,...,b)^T kann man die gegebene Matrix schreiben als A+ab^T.

Ist a=0, so ist die Matrix A+ab^T=ab^T singulär, und es gilt det(A+ab^T)=0=a^n-1(a+nb).

Im Fall ist A regulär, und es folgt wegen A^-1=a^-1I_n
     det(A+ab^T)=aⁿ(1+nba^-1)=a^n-1(a+nb).

Aufgabe 17

Lösung für Aufgabe 17

Aufgabe 18

a)	Die lineare Abbildung sei festgelegt durch      T(e1)=3e3,      T(e2)=e1-e2-9e3,      T(e3)=2e2+7e3. Geben Sie die Abbildungsmatrizen von T bezüglich der kanonischen Basis und der Basis a1=(1,1,1)T,    a2=(1,2,3)T,    a3=(1,3,6)T an.

b)	Die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung sei bezüglich der kanonischen Basen       Geben Sie die Abbildungsmatrix bezüglich der Basen       an. Welche Koordinaten bezüglich der Basis (w1, w2, w3) besitzt T(5e1+3e2)?

Lösung für Aufgabe 18

a)

b)

Aufgabe 19

Wie lautet die Matrix der Orthogonalen Projektion des auf W und auf (bezüglich der kanonischen Basis)? Welchen Wert hat
     

für

?

Lösung für Aufgabe 19

     dim W = 3

Basis:

Orthonormalbasis:

Orthogonale Projektion auf W:

Orthogonale Projektion auf :

Aufgabe 20

Es sei

der Vektorraum der Polynome vom Grad 2 mit dem inneren Produkt

Lösung für Aufgabe 20

a)
b)

Aufgabe 21

a)	Sei    (i=1,2),       Untersuchen Sie, ob Ti eine Drehung oder eine Spiegelung beschreibt (i=1,2), und bestimmen Sie ggf. Drehachse und Drehwinkel bzw. Spiegelungsebene.
b)	Bestimmen Sie die Matrix , die (bezüglich der kanonischen Basis (e1, e2, e3)) die 45°-Drehung des mit Drehachsenrichtung (1,1,0)T beschreibt. Hinweis: Konstruieren Sie zunächst eine ONB (w1, w2, w3) mit w1 parallel zu (1,1,0)T, und stellen Sie die Abbildungsmatrix bezüglich dieser Basis auf.

Lösung für Aufgabe 21

a)	Die Matrix A1 beschreibt eine Drehung.
b)	Basiswechsel:

Aufgabe 22

Gegeben sei eine Matrix

mit den Spaltenvektoren

a)	Man zeige:      Rang regulär.
b)	Ist (w1,..,wm) Basis des linearen Unterraums , so besitzt die orthogonale Projektion des auf W die Matrixdarstellung       P=A(ATA)-1AT Hinweis: Man verwende die Beziehungen (5.2.8) und (5.2.9)!
c)	Mit den Vektoren       sei W:=Spann(a1, a2) und Z:=Spann(a3). Berechnen Sie die Matrizen P und Q der orthogonalen Projektionen des auf die Unterräume W und Z ohne Orthonormalisierung.

Lösung für Aufgabe 22

a)	Sei Rang A = m. Dann folgt aus ATAx=0 zunächst , d.h. Ax=0, und wegen der linearen Unabhängigkeit von w1,...,wm erhählt man      x1 = ... = xm = 0. Sei umgekehrt ATA regulär. Dann folgt aus Ax=0 zunächst ATAx=0, und x=0 aus der Regularität von ATA, d.h. w1,...,wm sind linear unabhängig.
b)	Es sein Qx:=A(ATA)-1ATA=A. Dann gilt      QA=A(ATA)-1ATA=A, d.h. Qwj=wj, j=1,...,m, und daher Qx=x für alle . Gilt , so folgt (wj)Tx=0, j=1,...,m, d.h. ATx=0, und daher      Qx=A(ATA)-1ATx=0. Aus diesen beiden Eigenschaften folgt für alle       .
c)

Aufgabe 23

a)	Für zeige man durch direkte Umformung der Determinante      det(In+abT) = 1 + aTb.
b)	Man leite hieraus      det(A + abT) = detA·(1 + bTA-1a) für reguläre Matrizen und her.
c)	Welcher Wert ergibt sich für die Determinante einer Householder-Matrix?

Lösung für Aufgabe 23

a)
b)
c)	det(I+2wwT)=-1

Aufgabe 24

Lösung für Aufgabe 24

a)
b)